Local-global principle for integral points on certain algebraic surfaces ; Principe local-global pour les points entiers sur certaines surfaces algébriques
Titel:
Local-global principle for integral points on certain algebraic surfaces ; Principe local-global pour les points entiers sur certaines surfaces algébriques
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Dans cette thèse, nous étudions le problème de l'existence de points entiers sur certaines surfaces algébriques définies sur des corps de nombres, en particulier le corps des nombres rationnels. Dans le premier chapitre, nous introduisons l'historique du problème et quelques progrès récents dans le sujet de notre étude, en particulier les travaux récents de Ghosh–Sarnak, Loughran–Mitankin, et Colliot-Thélène–Wei–Xu. Dans le chapitre 2, nous étudions l'obstruction de Brauer–Manin pour les surfaces cubiques de type Markoff. Nous fournissons d'abord quelques informations sur les variétés de caractères et l'origine naturelle des surfaces cubiques de type Markoff, puis nous calculons explicitement le groupe de Brauer des compactifications lisses et le groupe de Brauer algébrique des surfaces affines. Ensuite, nous utilisons le groupe de Brauer pour prouver l'échec de l'approximation forte qui peut s'expliquer par l'obstruction de Brauer–Manin dans une famille infinie de surfaces, puis donnons des estimations asymptotiques pour la fréquence des obstructions. De plus, nous appliquons la théorie de la réduction, similaire à celle des surfaces de Markoff, dans les travaux récents de Whang pour donner un contre-exemple explicite au principe de Hasse entier pour nos surfaces cubiques de type Markoff. Nous donnons aussi des résultats analogues à ceux sur les surfaces de Markoff à propos de l'obstruction de Brauer–Manin dans quelques cas particuliers de surfaces cubiques de type Markoff. Dans le chapitre 3, nous étudions l'obstruction de Brauer–Manin pour les surfaces de Wehler K3 de type Markoff et suivons la même structure que le chapitre précédent. Nous fournissons d'abord quelques informations sur les surfaces K3 de Wehler et une étude récente des surfaces K3 de type Markoff (MK3), ainsi que les trois familles explicites de surfaces MK3 qui nous intéressent. Ensuite, nous calculons explicitement le groupe de Brauer algébrique des clôtures projectives lisses, puis le groupe de Brauer algébrique des surfaces affines. ...