Lledos, Benjamin
[Verfasser:in]
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Toulouse 3
[Mitwirkende:r];
Bousquet, Pierre
[Mitwirkende:r]
Propriétés qualitatives de solutions de problèmes dégénérés et/ou singuliers en calcul des variations ; Qualitative properties of solutions of degenerate and/or singular problems in the calculus of variations
Titel:
Propriétés qualitatives de solutions de problèmes dégénérés et/ou singuliers en calcul des variations ; Qualitative properties of solutions of degenerate and/or singular problems in the calculus of variations
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse s'inscrit dans les domaines du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles elliptiques et de la théorie géométrique de la mesure. Dans le premier chapitre, nous prouvons un résultat d'unicité des solutions pour un problème de minimisation de la forme ʃΩφ(∇u)-λu avec λ une fonction constante. L'autonomie de cette fonctionnelle nous permet d'effectuer des translations de solutions comme dans [29] pour montrer qu'il existe au plus un minimiseur uniformément continu. Dans le deuxième chapitre, nous considérons une fonction convexe φ comme celle présente dans [8] n'étant pas différentiable à l'origine et λ une fonction lipschitzienne. La preuve de l'unicité dans ce cas là repose sur une étude de la régularité des ensembles de niveau. Dans le troisième chapitre, on travaille avec un autre φ introduit dans [41] qui n'est pas strictement convexe sur plusieurs ensembles. Nous prouvons un résultat d'unicité en dimension deux reposant encore une fois sur une étude des lignes de niveau et sur un principe du maximum pour ∇φ(∇u) avec u un minimiseur. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à la régularité des solutions faibles d'équations aux dérivées partielles elliptiques dégénérées de la forme div G(∇u) = ƒ. En dimension deux quand ƒ est une constante nous présentons des résultats sur la continuité de G(∇u) sous diverses hypothèses de croissance sur G. Nous établissons aussi une extension de [57] en élargissant la zone de dégénérescence de G. ; This thesis belongs in the fields of calculus of variations, elliptic partial differential equations and geometric measure theory. In the first chapter, we prove a uniqueness result for the solutions of a minimization problem of the form ʃΩφ(∇u)-λu with λ a constant function. The autonomy of this functional allows us to use translations of solutions as in [29] to prove that there is at most one uniformly continuous minimizer. In the second chapter, we consider a convex function φ as the one in [8] which is not differentiable at the origin and λ ...