L’algorithme de Cauchy-Lagrange pour les écoulements axisymétriques et incompressibles d’Euler dans un domaine cylindrique borné : Exploration numérique de la perte de régularité des solutions des équations de l’hydrodynamique par des méthodes semi-Lagrangiennes d’ordres très élevés ; The Cauchy-Lagrange algorithm for axisymmetric incrompressible Euler flow in a wall bounded cylindrical domain : Numerical exploration of regularity loss in the solutions to hydrodynamical equations by high-order semi-Lagrangian methods
Titel:
L’algorithme de Cauchy-Lagrange pour les écoulements axisymétriques et incompressibles d’Euler dans un domaine cylindrique borné : Exploration numérique de la perte de régularité des solutions des équations de l’hydrodynamique par des méthodes semi-Lagrangiennes d’ordres très élevés ; The Cauchy-Lagrange algorithm for axisymmetric incrompressible Euler flow in a wall bounded cylindrical domain : Numerical exploration of regularity loss in the solutions to hydrodynamical equations by high-order semi-Lagrangian methods
Anmerkungen:
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Beschreibung:
À l'aide du nouvel algorithme de Cauchy-Lagrange (CLA) ce travail étudie un écoulement d'Euler incompressible, axisymétrique et périodique, confiné dans un domaine cylindrique, borné par une paroi dans la direction radiale. Des simulations très précises sont effectuées en vue de reconsidérer le résultat récent d'une possible singularité en temps fini (blow-up) pour un flot particulier dans cette géométrie. L'algorithme exploite l'analyticité temporelle des trajectoires des particules du champ de vitesse. Les coefficients de Taylor en temps des trajectoires satisfont des relations de récursion et sont obtenus en résolvant des problèmes de décomposition de Helmholtz-Hodge. Une approche pseudo-spectrale du type Chebyshev-Fourier est appliquée aux problèmes numériques dans un système aux coordonnées cylindriques tout en évitant une différenciation spectrale instable. Des méthodes pour le choix d'un pas de temps, fixe ou adaptatif, sont proposées et étudiées numériquement. Après l'insertion d'un pas de temps, les champs d'écoulement sont connus sur les trajectoires des particules dispersés dans une tranche du cylindre. Plusieurs méthodes d'interpolation sur une grille déformée sont considérées et comparées afin de trouver la meilleur façon de rétablir le flot sur la grille fixe qui donne la nouvelle condition initiale pour le mécanisme de récursion. L'implémentation du CLA présentée se révèle être précise, stable et rapide. L'absence de condition CFL rend le CLA plus performant que les algorithmes traditionnels. En effet, cette propriété permet de prendre des pas de temps plus large, ce qui réduit le nombre total d'itérations. Des tests approfondis sur les écoulements stationnaires et d'autres, non-stationnaires, sans vitesse angulaire sont effectués. Puis, des simulations avec des conditions initiales susceptibles de développer une singularité en temps fini, sont effectuées et analysées. Cette première mise en œuvre du CLA pour un domaine avec une paroi s'avère être un excellent outil pour résoudre les équations ...