Fine properties of solutions for quasi-linear elliptic and parabolic equations with non-local and non-standard growth ; Propriétés fines des solutions pour les équations elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec croissance non locale et non standard
Titel:
Fine properties of solutions for quasi-linear elliptic and parabolic equations with non-local and non-standard growth ; Propriétés fines des solutions pour les équations elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec croissance non locale et non standard
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Dans cette thèse, nous étudions les propriétés fines des solutions d'équations elliptiques et paraboliques quasi-linéaires impliquant une croissance non locale et non standard. Nous nous sommes concentrés sur trois différents types d’équations aux dérivées partielles (EDP).Dans un premier temps, nous étudions les propriétés qualitatives des solutions faibles et fortes d’équations d'évolution comportant des termes à croissance non-standard. La motivation de l'étude de ces types d'équations réside dans la modélisation de caractéristiques anisotropes se produisant dans les modèles de fluides électro-rhéologiques, la restauration d'images, le processus de filtration dans les milieux complexes, les problèmes de stratigraphie ou encore les interactions biologiques hétérogènes. Dans cette étude, nous déterminons des conditions suffisantes sur les données initiales pour obtenir l'existence et l'unicité de solution forte. Nous établissons également la régularité de second ordre de la solution forte ainsi que des résultats optimaux d'intégrabilité à l’aide de nouvelles inégalités d'interpolation.Nous étudions en outre les propriétés des solutions faibles de problèmes doublement non-linéaires impliquant premièrement une classe d'opérateurs de type Leray-Lions et une non-linéarité dans la dérivée temporelle. Nous considérons les questions d'existence, d'unicité, de régularité ainsi que de comportement à l’infini des solutions faibles de ces problèmesDans une deuxième étude, nous considérons des systèmes de type Kirchhoff impliquant des opérateurs non-linéaires de type Choquard avec des poids singuliers. Cette classe de problèmes apparaît dans de nombreux phénomènes physiques comme la variation de longueur d’une corde tendue en vibration où le terme de Kirchhoff mesure le changement de tension ou encore la propagation d’ondes électromagnétiques dans le plasma. Motivé par les nombreuses applications physiques, nous étudions cette classe d’équations et nous établissons l'existence et des résultats de non-unicité pour des ...