Anmerkungen:
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Beschreibung:
Dans cette thèse, on s’intéresse à étudier la capacité de l’approche de la théorie des jeux à traiter certains problèmes inverses ‘mal posé’, gouvernés par les équations de Stokes ou quasi-Stokes. La première partie concerne la détection d’un ou plusieurs objets (Chapitre 2), et l’identification de sources ponctuelles dans un écoulement (Chapitre 3), en utilisant des données du type Cauchy qui seront ainsi fournies seulement sur une partie frontière de l’écoulement. Ce type de problème est mal posé au sens d’Hadamard du fait de l’absence de solution si les données ne sont pas compatibles mais surtout du fait de son extrême sensibilité aux données bruitées, dans le sens où une légère perturbation des données entraine une grande perturbation de la solution. Cette difficulté de stabilité fournit aux chercheurs un défi intéressant pour la mise au point de méthodes numériques permettant d’approcher de la solution du problème inverse original. L’approche développée ici est différente de celles existantes, elle a traité simultanément la question de la reconstruction des données manquantes avec celle de l’identification des inclusions ou de sources ponctuelles dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. En considérant une méthode de type minimisation de critères, la solution est réinterprétée en termes d’équilibre de Nash entre les deux problèmes complétion/identification. Des nouveaux algorithmes originaux dédiés au calcul d’équilibre de Nash sont présenté et implémenté avec FreeFem ++. Une extension pour le problème d’identification de petits objets de l’approche proposée de jeu de Nash a été réalisé (Chapitre 4). La deuxième partie est consacrée à la résolution des problèmes inverses non linéaires dans le cadre des écoulements de fluide quasi-newtonien (Chapitre 5). La viscosité est supposée une fonction non linéaire, varie en fonction du tenseur des déformations. Un problème inverse non linéaire du type Cauchy est reformulé comme un problème du contrôle optimal, puis comme un jeu de Nash à deux joueurs. ...