Étude théorique et numérique d'équations cinétiques stochastiques multi-échelles ; Theoretical and numerical study of multiscale stochastic kinetic equations
Titel:
Étude théorique et numérique d'équations cinétiques stochastiques multi-échelles ; Theoretical and numerical study of multiscale stochastic kinetic equations
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse est dédiée à l'étude d'une classe de systèmes multi-échelles modélisés par une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique (EDPS) linéaire cinétique ou une Équation Différentielle Stochastique (EDS). On étudie ces systèmes d'un point de vue théorique et numérique, dans deux régimes asymptotiques : le régime de moyennisation et le régime d'approximation-diffusion.Les deux premiers chapitres énoncent les principaux résultats théoriques de cette thèse. On montre à chaque fois la convergence de la composante lente du système d'EDPS considéré vers la solution d'une équation de diffusion munie d'un terme source qui dépend du régime asymptotique. Dans le premier chapitre, on considère le régime d'approximation-diffusion, dans lequel le terme source de l'équation limite est un terme diffusif au sens probabiliste (processus de Wiener). Dans le deuxième, on considère le régime de moyennisation, dans lequel le terme source de l'équation limite est la moyenne du terme source de l'EDPS originale.Les deux derniers chapitres constituent la partie numérique de cette thèse. De manière générale, un schéma numérique peut être consistant avec un système multi-échelle à un paramètre epsilon fixé mais se révéler inefficace dans le régime asymptotique où epsilon tend vers 0, à cause d'un terme raide dans le modèle. À l'opposé, certains schémas préservent l'asymptotique : ils sont consistants à epsilon fixé, convergent vers un schéma limite quand epsilon tend vers 0 et ce schéma limite est consistant avec l'équation limite. Le but des deux derniers chapitres est de proposer, respectivement pour les EDS et les EDPS considérées, des schémas préservant l'asymptotique, de les étudier et d'illustrer numériquement leur efficacité ; In this thesis, we study a class of slow-fast systems modeled by kinetic linear Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) or Stochastic Differential Equations (SDEs). We study these systems from theoretical and a numerical points of view in two asymptotic regimes: the averaging regime and the ...