Anmerkungen:
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Beschreibung:
La présente thèse est une contribution au domaine des calculs de variations et plus précisément la discipline d'optimisation de forme. Nous nous intéressons dans la majeure partie de ce travail à l'étude d’inégalités optimales reliant différentes quantités géométriques et spectrales sur plusieurs classes d'ensembles, ceci passe par l'étude de diagrammes dits de Blaschke-Santaló qui permettent de visualiser les inégalités possibles reliant 3 fonctionnelles de forme données. Nous développons différentes techniques qui permettent de démontrer des résultats qualitatifs sur ces diagrammes et proposons une approche numérique pour en fournir une approximation optimale. Nous nous intéressons aussi à l'étude de l'inégalité de Cheeger, qui est une inégalité classique reliant la première valeur propre du Laplacien avec condition Dirichlet au bord et la constante de Cheeger, pour les domaines convexes. Enfin, nous nous penchons sur le problème de trouver l'emplacement optimal d'un obstacle sphérique contenu dans une boule qui permet de maximiser la première valeur propre du Laplacien avec conditions aux bord de type Steklov. ; The present thesis is a contribution to the field of calculus of variations and more precisely the discipline of shape optimization. We are interested in the major part of this work in the study of sharp inequalities relating different geometric and spectral quantities for various classes of sets, this is tightly related to the study of the so called Blaschke-Santaló diagrams that allow to visualise the possible inqualities relating 3 given shape functionals. We develop different techniques that allow to prove qualitative results on these diagrams and propose a numerical approach in order to provide optimal approximations of them. We are also interested by the study of the Cheeger inequality, that relates the Cheeger constant and the first eigenvalue of the Laplace operator with Dirichlet boundary condition, for convex domains. At last, we focus on the problem of finding the optimal placement of a ...