Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse porte sur un type particulier d’arbres couvrants minimums aléatoires inhomogènes, ainsi que sur les graphes sous-jacents à ces arbres. Pour n un entier positif grand, nous posons des poids (wi)i≤n strictement positifs sur les nœuds du graphe complet de taille n. De plus, les poids (wi)i≤n que nous considérerons dans cette thèse vérifient une condition particulière dite de troisième moment fini. Cette condition est naturelle au vu de l’histoire de ces arbres. Puis, à chaque arête {i,j} du graphe complet nous attribuons une capacité qui est une variable aléatoire exponentielle de paramètre wiwj indépendamment du reste. Nous construisons ensuite l’arbre couvrant minimum du graphe complet avec ces capacités. Dans le Chapitre 2 nous obtenons des propriétés asymptotiques des graphes de rang-1 inhomogènes dans la fenêtre dite à peine sur-critique. La nouveauté apportée dans ce chapitre consiste en l’étude détaillée de ces graphes inhomogènes, ainsi qu’en l’obtention de nouvelles inégalités de concentration pour les tirages sans remises. Dans le Chapitre 3, nous utilisons les résultats du Chapitre 2 afin de démontrer que l’espérence des distances typiques et du diamètre de nos arbres couvrants minimums aléatoires inhomogènes sont de l’ordre de n^(1/3) quand n est grand. Comme corollaire de notre travail, nous répondons par l’affirmative à une conjecture issue de la physique statistique concernant les distances typiques d’arbres couvrants minimums proches de ceux qu’on étudie. Finalement, dans le Chapitre 4, nous démontrons que nos arbres couvrants minimums, vus comme des espaces métriques et avec des distances renormalisées par n(1/3) convergent en loi vers un espace métrique compact non-trivial pour la topologie de Gromov-Hausdorff. ; In this thesis we study a specific type of inhomogeneous random minimum spanning trees and their related graphs. For large positive integers n, we put positive weights (wi)i≤n on the nodes of the complete graph of size n. Moreover, the weights (wi)i≤n that we consider in this ...