Geometry of the holomorphic symplectic manifolds and the characteristic foliation ; Géométrie des variétés hyper-kählériennes et le feuilletage caractéristique
Titel:
Geometry of the holomorphic symplectic manifolds and the characteristic foliation ; Géométrie des variétés hyper-kählériennes et le feuilletage caractéristique
Anmerkungen:
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Beschreibung:
Dans cette thèse nous étudions le feuilletage caractéristique sur une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne. Voici une explication détaillée du problème. Soit Y une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne irréductible projective X de dimension 2n et σ une forme holomorphiquement symplectique sur X. Pour chaque point x ε Y la forme σ est une forme non-dégénérée sur ⊤ᵪ,ₓ. Donc la forme restreinte à ⊤ᵧ,ₓ est de corang 1 (c'est à dire le noyau de σ/⊤ᵧ,ₓ est de dimension une). Le feuilletage caractéristique F sur une hypersurface Y est le noyau de la forme symplectique σ restreinte à Y. On peut poser la question suivante: quelle est la dimension de la fermeture de Zariski de la feuille générale de F. Dans cette thèse nous avons trouvé la fermeture de Zariski d'une feuille générale de F dans des certains cas.Le premier cas est le suivant. Soit X une variété hyper-kählérienne irréductible projective de dimension 2n. Soit la variété X munie d'une fibration lagrangienne π : X →ℙⁿ. On appelle l'hypersurface Y dans X verticale s'il existe une hypersurface D dans ℙⁿ tel que son image réciproque est Y. Nous avons démontré que la fermeture de Zariski d'une feuille générale du feuilletage caractéristique sur Y est une fibre de la fibration π.Voici le deuxième cas. Soit Y une hypersurface lisse nef et big dans X. Nous avons démontré qu'une feuille générale du feuilletage caractéristique est Zariski dense dans Y. Dans la suite de la thèse nous étudions le feuilletage caractéristique sur les hypersurfaces singulières. Nous exhibons des exemples d'hypersurfaces verticales telles que la fermeture d'une feuille générale est une sous-variété propre de la fibre de la fibration lagrangienne. Après, nous étudions la variété X des droites sur une hypersurface cubique de ℙ⁵. Nous décrivons deux exemples d'hypersurfaces singulières Y dans X tel qu'une feuille générale du feuilletage caractéristique sur Y n'est pas Zariski dense dans Y. Vers la fin de la thèse nous étudions la variété hyperkählerienne de ...