Stankov, Bogdan
[VerfasserIn]
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Université Paris sciences et lettres
[MitwirkendeR];
Erschler, Anna
[MitwirkendeR]
Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques ; Poisson boundary of random walks on groups and isoperimetric profiles
Titel:
Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques ; Poisson boundary of random walks on groups and isoperimetric profiles
Anmerkungen:
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Beschreibung:
On étudie les marches aléatoires sur les groupes, et plus généralement les marches induites par des mesures sur des groupes. On cherche à comprendre leur comportement à l'infini, surtout en terme du non-trivialité de leur bords de Poisson. On s'intéresse en particulier aux sous-groupes de H(ℤ), y compris le groupe de Thompson F. Le groupe H(ℤ) est le groupe des homéomorphismes projectifs par morceaux sur les entiers défini par Monod. Pour un sous-groupe H de H(ℤ) de type fini, on montre que soit H est résoluble, soit pour tout mesure sur H dont le premier moment est fini et le support engendre H en tant que semi-groupe, le bord de Poisson de la marche aléatoire sur H est non-trivial. En particulier, on démontre la non-trivialité du bord de Poisson des marches aléatoires sur le groupe de Thompson F pour les mesures sur F dont le support l'engendre en tant que semi-groupe et qui sont de premier moment fini. Cela réponde à une question de Kaimanovich. Considérons une action transitive d'un groupe G de type fini, et le graphe de Schreier Γ que cette action définit pour un ensemble générateur fixé. Pour une mesure de probabilité μ sur G de premier moment fini, on prouve que si la marche aléatoire induite sur Γ est transiente, alors elle converge vers un bout de Γ. On obtient comme corollaire que pour une mesure de probabilité de premier moment fini sur le groupe de Thompson F, dont le support engendre F en tant que semi-groupe, la marche aléatoire induite sur les nombres dyadiques a un bord de Poisson non-trivial. Il est nécessaire d'avoir une hypothèse sur le moment de la mesure d'après un résultat de Juscheno et Zheng. En outre, on calcule les valeurs exactes des fonctions de Følner sur le groupe d'allumeur de réverbères ℤ≀ℤ/2ℤ pour l'ensemble générateur standard et l'ensemble générateur «switch-walk-switch». Les fonctions de Følner encodent les propriétés isopérimétriques des groupes moyennables et ont été auparavant étudiées à équivalence asymptotique prêt (autrement dit, de façon indépendante du choix d'ensemble ...