Anmerkungen:
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Beschreibung:
Nous présentons un estimateur pour l'ajustement, en grande dimension, d'un modèle linéaire avec interactions quadratiques. Un tel modèle ayant un très grand nombre de variables, son estimation soulève de nombreux défis statistiques et numériques. Ainsi, son estimation a motivé de nombreux travaux ces deux dernières décennies, et reste un enjeu dans de nombreuses applications. Statistiquement, un des enjeux est de pouvoir faire de la sélection de variables, pour faciliter l'interprétabilité du modèle. De plus, les variables d'interactions ajoutées pouvant être fortement corrélées, une régularisation adaptée doit permettre de les prendre en compte. On propose alors d'adapter l'estimateur ElasticNet, pour prendre en compte les potentielles corrélations via la pénalité L2 et obtenir un modèle parcimonieux via la pénalité L1. Aussi, une approche communément utilisée dans la littérature, pour favoriser les effets principaux tout en réduisant le nombre d'interactions à considérer, est l'hypothèse d'hérédité. Cette hypothèse n'autorise à inclure une interaction que si et seulement si les effets principaux associés sont sélectionnés dans le modèle. Ainsi, elle mène à des modèles parcimonieux, plus faciles à interpréter, tout en réduisant le nombre d'interactions à visiter et le coût computationnel. Cependant, elle ne permet pas d'explorer les variables d'interactions dont les effets principaux ne sont pas sélectionnés, alors que ces variables peuvent être pertinentes à considérer. Aussi, on propose de s'affranchir de cette hypothèse structurelle d'hérédité, et de pénaliser davantage les interactions que les effets simples, pour favoriser ces dernières et l'interprétabilité. Aussi, on sait que les estimateurs pénalisés tels que l'ElasticNet biaisent les coefficients en les réduisant agressivement vers zéro. Une conséquence est la sélection de variables supplémentaires pour compenser la perte d'amplitude des coefficients pénalisés, affectant la calibration des hyperparamètres lors de la validation croisée. Une solution ...