Anmerkungen:
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Beschreibung:
Cette thèse se situe à l’interface de la Statistique, paramétrique et non-paramétrique, des processus stochastiques, et de l’analyse des équations aux dérivées partielles paraboliques. Le fil conducteur des travaux présentés ici a été d’obtenir des informations sur le flot de mesures de probabilités, solution d’une équation de Fokker-Planck-Kolmogorov non-linéaire, dite équation de McKean-Vlasov, et sur le coefficient de drift de cette équation, à l’aide de l’observation continue de la solution du système linéaire de diffusions en interaction l’approchant en limite de champ moyen, i.e. quand le nombre de particules de ce système croît vers l’infini.Dans une première partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift dépend d’un paramètre inconnu. Nous suivons le programme d’estimation de Ibragimov et Hasminskii : nous montrons que la propriété de normalité locale asymptotique est vérifiée par ce modèle et nous en déduisons des propriétés fines de convergence et de normalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance de ce paramètre. Nous proposons un nouveau critère de vérification de la non-dégénérescence et de l’identifiabilité de ce problème statistique. Dans une deuxième partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift est inconnu, mais appartient à une certaine classe de fonctions caractérisées par leur régularité : les fonctions localement höldériennes. Cette partie repose sur une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein, et sur des techniques de statistique non-paramétrique : nous construisons des estimateurs à noyaux adaptatifs de la densité solution de l'équation de McKean-Vlasov et de son drift à l’aide de la méthode de Goldenshluger-Lepski, et nous montrons que ces estimateurs sont optimaux au sens minimax pour un risque ponctuel. Enfin, nous construisons un estimateur de la force d’interaction dans le cas d’un drift de type Vlasov a l’aide d’une méthode de déconvolution. ; This thesis lies at the crossroads of ...