Anmerkungen:
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Beschreibung:
Wir geben einen neuen und im wesentlichen elementaren Beweis eines wichtigen Resultats von Joseph Bernstein in der Theorie der glatten Darstellungen einer reduktiven p-adischen Gruppe G. Hauptwerkzeuge zur Untersuchung dieser Darstellungen sind parabolische Induktion und Jacquet-Restriktion, welche die Darstellungen von G mit denen der (echten) Leviuntergruppen von G in Verbindung bringen, die ihrerseits reduktive p-adische Gruppen von kleinerem halbeinfachem Rang als G sind. Schon aus den Definitionen folgt, daß die parabolische Induktion rechtsadjungiert zur Jacquet-Restriktion ist ("erste Adjungiertheit"). Die "zweite Adjungiertheit" besagt, daß die parabolische Induktion auch linksadjungiert zur Jacquet-Restriktion ist, wobei einer der beiden Funktoren jedoch bezüglich der entgegengesetzten parabolischen Untergruppe zu nehmen ist. Wir führen dieses hochgradig nicht-triviale Resultat auf Eigenschaften parabolischer Untergruppen und ihrer Doppelnebenklassen zurück. Dafür wird sehr stark ausgenutzt, daß man die Darstellungskategorie mit Hilfe nicht-ausgearteter Linksmoduln der Heckealgebra von G beschreiben kann und daß sich parabolische Induktion und Jacquet-Restriktion dann als von Bimoduln induzierte Tensorfunktoren zwischen Modulkategorien schreiben lassen. Statt über den komplexen Zahlen arbeiten wir über einem kommutativen Ring R, in dem p invertierbar ist. Unsere Argumentation stützt sich jedoch auf das Zwischenergebnis, daß sich die kuspidalen Darstellungen (das sind diejenigen, deren Jacquet-Restriktionen alle Null sind) als kategorieller Faktor vom Rest der Darstellungstheorie abspalten lassen, und hieraus ergeben sich weitere Bedingungen an R. Schließlich zeigen wir, daß sich die dem kuspidalen Teil der Darstellungstheorie komplementäre Unterkategorie mit Hilfe der beiden Adjunktionen als Kategorie von Komoduln über einer gewissen Koalgebra (in diesem Kontext oft als "Koring" bezeichnet) oder als Kategorie von Moduln über einer gewissen Algebra beschreiben läßt. ; We give a new and essentially ...