Trinomials, torus knots and chains

Medientyp: E-Artikel

Titel: Trinomials, torus knots and chains

Beteiligte: Barrera, Waldemar; Magaña, Julio; Navarrete, Juan

Erschienen: American Mathematical Society (AMS), 2023

Sprache: Englisch

DOI: 10.1090/tran/8834

ISSN: 0002-9947; 1088-6850

Schlagwörter: Applied Mathematics ; General Mathematics

Entstehung:

Anmerkungen:

Beschreibung: <p>Let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than m"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">n>m</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>be fixed positive coprime integers. For<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v greater-than 0"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">v>0</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, we give a topological description of the set<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Lamda left-parenthesis v right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Lambda (v)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, consisting of points<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket x colon y colon z right-bracket"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">[x:y:z]</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in the complex projective plane for which the equation<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x zeta Superscript n Baseline plus y zeta Superscript m Baseline plus z equals 0"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:msup><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:msup><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">x\zeta ^n +y \zeta ^m+z=0</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>has a root with norm<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v"><mml:semantics><mml:mi>v</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">v</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. It is shown that the set<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega left-parenthesis v right-parenthesis equals double-struck upper P Subscript double-struck upper C Baseline Superscript 2 Baseline minus normal upper Lamda left-parenthesis v right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo class="MJX-variant">∖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega (v)= {\mathbb P_{\mathbb C}} ^2 \setminus \Lambda (v)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>has<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>components. Moreover, the topological type of each component is given. The same results hold for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Lamda"><mml:semantics><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Lambda</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega equals double-struck upper P Subscript double-struck upper C Baseline Superscript 2 Baseline minus normal upper Lamda"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo class="MJX-variant">∖</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega ={\mathbb P_{\mathbb C}}^2 \setminus \Lambda</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, where<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Lamda"><mml:semantics><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Lambda</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>denotes the set obtained as the union of all the complex tangent lines to the<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"><mml:semantics><mml:mn>3</mml:mn><mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>-sphere at the points of the torus knot, that is, the knot obtained by intersecting<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet left-bracket x colon y colon 1 right-bracket element-of double-struck upper P Subscript double-struck upper C Superscript 2 Baseline colon StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue squared plus StartAbsoluteValue y EndAbsoluteValue squared equals 1 EndSet"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\{[x:y:1] \in \mathbb {P}_{\mathbb C}^2 : |x|^2+|y|^2=1\}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and the complex curve<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet left-bracket x colon y colon 1 right-bracket element-of double-struck upper P Subscript double-struck upper C Baseline Superscript 2 Baseline colon y Superscript m Baseline equals x Superscript n Baseline EndSet"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\{[x:y:1] \in {\mathbb P_{\mathbb C}} ^2 : y^m=x^n\}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. Finally, we use the linking number of a distinguished family of circles and the torus knot to give a numerical invariant which determines the components of<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"><mml:semantics><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in a unique way.</p>

Nur in Feld suchen:

Zuletzt gesuchte Begriffe: