Beschreibung:
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>We examine geological crack patterns using the mean field theory of convex mosaics. We assign the pair <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\left({\overline{n } }^{*},{\overline{v } }^{*}\right)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mfenced>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfenced>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of <jats:italic>average corner degrees</jats:italic> (Domokos et al. in A two-vertex theorem for normal tilings. Aequat Math <jats:ext-link xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" ext-link-type="uri" xlink:href="https://doi.org/10.1007/s00010-022-00888-0">https://doi.org/10.1007/s00010-022-00888-0</jats:ext-link>, 2022) to each crack pattern and we define two local, random evolutionary steps <jats:italic>R</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub> and <jats:italic>R</jats:italic><jats:sub>1</jats:sub>, corresponding to secondary fracture and rearrangement of cracks, respectively. Random sequences of these steps result in trajectories on the <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\left({\overline{n } }^{*},{\overline{v } }^{*}\right)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mfenced>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfenced>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> plane. We prove the existence of limit points for several types of trajectories. Also, we prove that <jats:italic>cell</jats:italic><jats:italic>density</jats:italic><jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\overline{\rho }= \frac{{\overline{v } }^{*}}{{\overline{n } }^{*}}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>ρ</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mover>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>¯</mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mo>∗</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> increases monotonically under any admissible trajectory.</jats:p>