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Medientyp:
E-Artikel
Titel:
Maximal Theorems for the Directional Hilbert Transform on the Plane
Beteiligte:
Lacey, Michael T.;
Li, Xiaochun
Erschienen:
American Mathematical Society, 2006
Erschienen in:Transactions of the American Mathematical Society
Sprache:
Englisch
ISSN:
0002-9947
Entstehung:
Anmerkungen:
Beschreibung:
<p>For a Schwartz function f on the plane and a non-zero <tex-math>$v \in \mathbb{R}^2$</tex-math> define the Hilbert transform of f in the direction v to be <tex-math>$H_{v}f(x) = p.v. \int_\mathbb{R} f(x - vy)_\frac{y} {dy}$</tex-math>. Let ζ be a Schwartz function with frequency support in the annulus <tex-math>$1 \leq \mid \xi \mid \leq 2$</tex-math>, and <tex-math>$\zeta f = \zeta * f$</tex-math>. We prove that the maximal operator <tex-math>$sup_{\mid v \mid = 1}\mid H_{v} \zeta f\mid$</tex-math> maps L<sup>2</sup> into weak L<sup>2</sup>, and L<sup>p</sup> into L<sup>p</sup> for p > 2. The L<sup>2</sup> estimate is sharp. The method of proof is based upon techniques related to the pointwise convergence of Fourier series. Indeed, our main theorem implies this result on Fourier series.</p>